Capítulo 7:

 Equivalencias

Sumando a = r + x, .... Al girar el radio y tomar posiciones sucesivas va formando sucesivos triángulos rectángulos. Las sucesivas hipotenusas que forma el radio, obviamente, es un valor constante.

El valor de x ² crece (o decrece) en el mismo valor en que decrece (o crece) el valor de y ² en la igualdad r ² = x ² + y ². Los sucesivos e infinitos valores que x ² e y ² pueden tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² determinan las sucesivas e infinitas posiciones que el radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ² puede tomar y determinan, asimismo, la línea curva del perímetro del círculo.

Los sucesivos e infinitos valores que x ² puede tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² determinan y son a su vez determinados por los sucesivos e infinitos valores del sumando a y del sumando b de la suma (a + b) ² = c ². El valor del sumando a crece (o decrece) en el mismo valor en que decrece (o crece) el valor del sumando b en la suma (a + b) = c.

Cuando a = b = r, el valor del sumando a y del sumando b es igual al valor del radio a = r y b = r.

Cuando acbr, el valor del sumando a es igual a r + x (o, también, es igual a r - x al que damos en llamar su valor opuesto) y el valor del sumando b es igual a r - x (o, también, es igual a r + x al que damos en llamar su valor opuesto), a = (r + x) y b = (r - x).

Altura y = (r + x) (r - x). Los sucesivos e infinitos valores que y ² puede tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² es determinado por el valor ab para cumplir con la igualdad del Teorema de Pitágoras. ab = y ², sustituyendo ab por su valores respectivos y desarrollando la fórmula se vuelve a cumplir la igualdad del Teorema de Pitágoras: ab = y ² ; (r + x) (r - x) = y ² ; r ² - rx + rx - x ² = y ² ; r ² - x ² = y ² ; r ² = x ² + y ².

a = r + x

b = r - x

c = (r + x) + (r - x)

a ² = (r + x) ² = r ² + x ² + 2rx

b ² = (r - x) ² = r ² + x ² - 2rx

2ab = 2(r + x) (r - x) = 2r ² - 2rx + 2rx - 2x ² = 2r ² - 2x ²

c ² = a ² + b ² + 2ab = r ² + x ² + 2rx + r ² + x ² - 2rx + 2r ² - 2x ² = 4r ²

y ² = r ² - x ²

a ² + b ² = (r + x) ² + (r - x) ² = r ² + x ² + 2rx + r ² + x ² - 2rx = 2r ² + 2x ²

a ² + ab = (r + x) ² + (r + x) (r - x) = r ² + x ² + 2rx + r ² - x ² = 2r ² + 2rx

etc.

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