Capítulo 1:

 Conjuntos

 

Generalidades

Conjunto:

•        concepto primario

•        no puede definirse

•        base de las Matemáticas:

-         construcción de los números

-         estudiar las estructuras algebraicas

Noción de conjunto

Un conjunto es una colección de objetos bien determinados y diferenciados.

 

Nomenclatura

Nombrar a los conjuntos:

-         Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

{Lunes, martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}

-         Por compresión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

{Días de la semana}

ó

{x/x es un día de la semana}

Pertenencia de un elemento a un conjunto:

-         Pertenece

-         No pertenece

Conjunto vacio

Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento.

{ }   ó   Ø

Conjunto unitario

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todo elemento del primero es un elemento del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

Conjuntos disjuntos

Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

Inclusión de conjuntos

Se dice que un conjunto M está incluido o contenido en otro conjunto A si todo elemento del conjunto M pertenece al conjunto A.

M es subconjunto de A, ó bien: M es una parte de A.

No inclusión

B no está incluido en A.

También suelen emplearse las expresiones:

   y     (A contiene a M y A no contiene a B)

Propiedades:

1.- Reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo.

2.- Antisimétrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A está incluido en B, B no puede estar incluido en A.

3.- Transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y a su vez B está incluido en C, A está incluido en C.

Conjunto de las partes de un conjunto

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado, y se representa por ρ (A).

Representación de conjuntos

1.- Diagrama lineal: Se sitúa sobre una recta un punto por cada elemento del conjunto.

2.- Diagrama de Venn: Se sitúan dentro de una línea cerrada los signos representativos de los elementos del conjunto.

Operaciones con conjuntos

Unión de conjuntos

Se llama unión de dos conjuntos A y B, y se representa por A ∪ B, al nuevo conjunto que tiene por elementos a todos los elementos de A y de B.

Si tienen algún elemento en común A y b, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez, al contrario que en el concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos.

Propiedades de la unión de conjuntos

1.- Propiedad idempotente:

2.- Propiedad conmutativa:

3.- Propiedad asociativa:

Intersección de conjuntos

Se llama intersección de los conjuntos A y B, y se representa A ∩ B, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y B.

Si A y B son conjuntos disjuntos, su intersección es el conjunto vacio (no tiene elementos).

 

Propiedades de la intersección

Iguales que las de la unión:

1.- Propiedad idempotente:

2.- Propiedad conmutativa:

3.- Propiedad asociativa:

Propiedades comunes a la unión y a la intersección

1.- Ley de absorción:

2.- Ley distributiva:

-     De la unión respecto de la intersección:

-     De la intersección respecto de la unión:

Estas dos leyes nos indican que ambas operaciones, ∪y ∩, tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A – B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B.

La diferencia de conjuntos no es conmutativa, ni asociativa.

 

Complementario de un conjunto con respecto a otro

Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por AC, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a ∈ A y b ∈ B.

“Pares ordenados”, serán diferentes: (a, b) y (b, a), lo cual indica que dicho producto cartesiano no tiene la propiedad conmutativa.

 

Propiedades del producto cartesiano

1.-                                   

2.- Propiedad distributiva respecto de la unión:

3.- Propiedad distributiva respecto de la intersección:

Observación

Si A es un conjunto finito que contiene m elementos y B también finito, contiene n elementos, el producto cartesiano A x B contiene m · n pares ordenados de elementos.

Representación gráfica del producto cartesiano

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