Capítulo 2:

 Correspondencias

 

Noción de correspondencia

Dados dos conjuntos A y B, se entiende por correspondencia entre ambos al subconjunto de su producto cartesiano.

Correspondencia (f) entre A y B mediante una relación (R).

-     A es el conjunto origen o conjunto inicial (sus elementos son los elementos originales o variables).

-     B es el conjunto imagen o conjunto final (sus elementos son los elementos homólogos, imágenes o constantes).

siendo f(a) y f(b), respectivamente, el conjunto imagen de a y de b.

Otra forma de definir una correspondencia es como asociación de elementos del conjunto A con otros elementos del conjunto B.

Correspondencia inversa

Se llama correspondencia inversa de una correspondencia dada f, representada por “”, a la que está formada por los pares que tienen los mismos elementos que la primera, pero en sentido contrario.

Se trata, pues, de un subconjunto del producto B x A.

Clasificación de las correspondencias

1.- Correspondencia unívoca:

-     Del conjunto origen puede salir una flecha o ninguna flecha (de los elementos).

-     Al conjunto imagen puede llegar: ninguna, una o varias flechas (a los elementos).

2.- Correspondencia biunívoca:

-     Conjunto origen sale una flecha o ninguna (elementos)

-     Conjunto imagen llega una flecha o ninguna (elementos)

 son unívocas

3.- Correspondencia multívoca:

-     Del conjunto origen pueden salir: ninguna, una o varias flechas (elementos), pero por lo menos de un elemento de este conjunto debe salir más de una.

Aplicaciones

Son un caso particular de las correspondencias unívocas.

Se llama aplicación a toda correspondencia tal que todos y cada uno de los elementos del conjunto origen tiene una y solamente una imagen.

-     Toda aplicación es una correspondencia unívoca.

-     Toda correspondencia unívoca no es una aplicación.

 

Clases de aplicaciones

Vamos a fijarnos en el número de flechas que llegan a cada elemento del conjunto imagen.

1.- Aplicación inyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe a lo más una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o ninguna.

2.- Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe por lo menos una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o varias.

3.- Aplicación biyectiva o biyección: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe una y solamente una flecha. Es una aplicación inyectiva y suprayectiva a la vez.

Relación recíproca de una aplicación

Dada una aplicación entre A y B, al hacer su correspondencia recíproca lo que hacemos es, en el mismo diagrama, cambiar el sentido de las flechas. Ahora B es el conjunto origen y A el conjunto imagen.

Composición de aplicaciones

Se llama aplicación f seguida de g, o bien composición de las aplicaciones f y g, a la aplicación resultante del primer conjunto A en el último conjunto C.

Relaciones binarias

Se llama así a toda correspondencia de un conjunto en sí mismo.

Se representan:

1.- Como subconjunto del producto cartesiano A x A.

2.- Poniendo los distintos pares que la determinan, sin paréntesis y con los términos separados mediante la letra R.

3.- Mediante el diagrama de Venn.

4.- Mediante un diagrama cartesiano.

 

Propiedades que puede tener una relación binaria

1.- Propiedad reflexiva: Se dice que una relación binaria posee la propiedad reflexiva o idéntica cuando todos sus elementos poseen bucle. En el diagrama cartesiano esto equivaldría a que todos los puntos de la diagonal principal están ocupados.

2.- Propiedad antirreflexiva: Una relación tiene la propiedad antirreflexiva cuando ninguno de sus elementos poseen bucle, es decir, ninguno de sus elementos están relacionados consigo mismo.

Puede ser que no tenga ni la propiedad reflexiva ni la antirreflexiva.

3.- Propiedad simétrica: Una relación tiene la propiedad simétrica cuando si una flecha sale de un primer elemento a un segundo, va siempre otra flecha del segundo al primero.

4.- Propiedad antisimétrica: Una relación es antisimétrica si su grafo no contiene nunca simultáneamente una flecha que vaya de un primer elemento a un segundo, y una flecha que vaya del segundo elemento al primero, lo que equivale a decir que si un elemento está relacionado con un segundo, en ningún caso está relacionado el segundo elemento con el primero.

5.- Propiedad transitiva: Existe la propiedad transitiva cuando para tres cualquiera de sus elementos se verifica que: si el primero está relacionado con el segundo y éste con el tercero, el primero ha de estar relacionado con el tercero.

Relación de equivalencia

Dada una relación cualquiera, se dice que es una relación de equivalencia cuando tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Al aplicar a un conjunto una relación de equivalencia se efectúa una partición o clasificación de dicho conjunto y a cada uno de dichos subconjuntos independientes se le denomina clase de equivalencia.

Relación de orden

Dada una relación cualquiera, se dice que es relación de orden si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Tipos:

1.- De orden total: Es una relación de orden tal, que para cada pareja de elementos del conjunto se verifica que, o bien el primero está relacionado con el segundo, o el segundo está relacionado con el primero.

2.- De orden parcial: Es una relación de orden tal, que existe algún par de elementos del conjunto que ni el primero está relacionado con el segundo, ni el segundo lo está con el primero.

3.- De orden estricto: Es la relación que tiene las propiedades antirreflexiva, antisimétrica y transitiva (caso especial).

Cursos similares a Matemáticas. Números y operaciones (1/2)

1. Matemáticas. Números y operaciones (2/2) Matemáticas. Números y operaciones es un curso que trata los principios de la... [01/07/10]				1.224
2. Números imaginarios (Matemáticas). Ejercicios En este vídeo tutorial de matemáticas se explican los conceptos y resoluciones... [11/06/12]				20
3. Función exponencial natural. Matemáticas Presentamos un curso de matemáticas que enseña la función exponencial natural ,... [09/10/12]				10