Capítulo 3:

 Estructuras algébricas

 

Generalidades

Hemos considerado hasta ahora a los conjuntos como simples agrupaciones de elementos, sin tener en cuenta si dichos elementos están dispuestos de alguna forma determinada que dote al conjunto de una cierta organización interna; dicha organización interna es lo que conocemos con el nombre de estructura.

Las estructuras en general (no sólo las algebraicas, de las que vamos a ocuparnos aquí) se originan en el conjunto por un tipo particular de relación, o mejor aún, por las correspondencias que esas relaciones definen: las llamadas operaciones.

En matemática moderna, se habla de tres tipos de estructuras: algebraica, de orden y topológica.

• En la estructura algebraica, la relación establecida entre los elementos del conjunto tiene carácter operatorio.

• En la estructura de orden, la relación establecida entre los elementos del conjunto tiende a ordenar, de algún modo, el conjunto.

• En la estructura topológica, la relación establecida entre los elementos del conjunto se refiere a los conceptos de frontera, continuidad, contorno, límite, etc. Ayuda al mejor conocimiento del espacio.

Operaciones

Dados tres conjuntos (A, B y C), se llama operación a toda aplicación que hace corresponder a una pareja de elementos (a, b), a ∈A y b ∈ B, un elemento del tercer conjunto C.

Signos de operación: ⊤, ⊥, O.

Leyes de composición

Son dos tipos particulares de operaciones que dan lugar a estructuras algebraicas en los conjuntos.

1.- Ley de composición interna es toda aplicación:

2.- Ley de composición externa en un conjunto A con operadores de B es toda aplicación:

 

Propiedades de las leyes de composición interna

1.- Permutabilidad: Se dice que dos elementos son permutables si se verifica que:

Se verificará siempre que definamos una ley de composición interna que posea la propiedad conmutativa.

2.- Elemento neutro: En un conjunto A, para el que se ha definido una ley de composición interna ⊤, se dice que “e” es el elemento neutro con respecto a esta ley, cuando se verifica que cualquier elemento del conjunto A operado con e da como resultado el mismo elemento de A.

3.- Elemento simétrico: Se dice que un elemento de un conjunto A tiene por elemento simétrico o complementario a otro elemento “a” del mismo conjunto, cuando definida en el mismo una ley de composición interna ⊥ se verifica que:

Si un elemento admite simétrico se denomina “simetizable”.

4.- Propiedad asociativa: Una ley de composición interna ⊤ es asociativa, cuando para todas las ternas de elementos a, b y c de un conjunto A se verifica que:

5.- Propiedad distributiva: Dado un conjunto A en el que se han definido dos operaciones internas ⊤ y ⊥, se dice que la ley de composición ⊤es distributiva respecto a la ley de composición ⊥ por la derecha y sólo por la derecha, cuando para una terna de elementos a, b y c del conjunto A se verifica:

Será distributiva por la izquierda si se verifica:

Concepto de estructura algebraica

Dado un conjunto A, se dice que se le ha dado una estructura algebraica, cuando se le ha provisto de una o varias leyes de composición que gozan de unas determinadas propiedades.

 

Tipos de estructuras algebraicas

Estructuras con una operación

La estructura de grupo está considerada como una de las más importantes de las matemáticas y se debe a que, en todo grupo, se puede definir una operación inversa a la que lo estructuraba como tal grupo.

G es grupo respecto a la operación ⊥, definimos

Estructuras con dos operaciones

RETÍCULO: Un conjunto A en el que se definen dos operaciones internas que cumplen las siguientes condiciones:

-         Propiedad idempotente para ambas operaciones.

-         Ambas operaciones sean conmutativas.

-         Ambas operaciones sean asociativas.

-         Ley de absorción de cada una de ellas por la otra.

-         Distributiva:

•        una operación con respecto de la otra: distributiva

•        para cada operación respecto de la otra: doblemente distributiva

Retículocon elemento universal (u):

Retículocon elemento ínfimo (i):

Retículocomplementario:

-         elemento universal (u)

-         elemento ínfimo (i)

-         para cada x hay x' que verifica:

Estructuras con ley de composición externa

1.- MÓDULO: Si M es un grupo abeliano y A es un anillo con elemento neutro, se dice que M es un módulo con A como dominio de operadores, cuando se tiene definida una ley de composición externa de A sobre M que verifica las siguientes condiciones:

siendo a y b elementos del anillo A, 1 su elemento neutro y x, e, y, elementos de M.

Suele expresarse también diciendo que M es un A-módulo.

2.- ESPACIO VECTORIAL: Es un caso particular de los módulos en el que el dominio de operadores es un cuerpo en lugar de un anillo.

Los elementos del espacio vectorial se denominan “vectores”.

3.- ALGEBRA: Se da este nombre a todo conjunto A en el que hay definidas dos operaciones internas (suma y producto) con respecto a las cuales constituye un anillo, y una ley de composición externa tal que con ella y una de las operaciones internas tiene estructura de espacio vectorial.

Cursos similares a Matemáticas. Números y operaciones (1/2)

1. Matemáticas. Números y operaciones (2/2) Matemáticas. Números y operaciones es un curso que trata los principios de la... [01/07/10]				1.224
2. Números imaginarios (Matemáticas). Ejercicios En este vídeo tutorial de matemáticas se explican los conceptos y resoluciones... [11/06/12]				20
3. Función exponencial natural. Matemáticas Presentamos un curso de matemáticas que enseña la función exponencial natural ,... [09/10/12]				10