Capítulo 5:

 Número entero

 

Generalidades

En los números naturales nos encontramos con el problema de hallar la diferencia entre dos números cuando el sustraendo es menor que el minuendo. Al introducir el campo de los números enteros, el problema quedará resuelto dando entrada a los llamados números negativos.

Operadores N → N

  (Máquina)

Entrada] ─ Operador ─ [Salida

N] ─ Operador ─ [N

Establece una aplicación

N en N

Pares = (salida, entrada)

(3, 0), (4, 1), (5, 2)…                        se han obtenido con el operador ─ +3 ─

(0, 3), (1, 4), (2, 5)…                       se han obtenido con un nuevo operador

                                                       opuesto al anterior ─ −3 ─

Pares ordenados y número enteros

(3, 0), (4, 1), (5, 2)…                      representa a ─ +3 ─

(0, 3), (1, 4), (2, 5)…                      representa a ─ −3 ─

El conjunto de números con signo … −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5… se llama “conjunto de números enteros” y se representa por Z.

(−) números negativos

(+) números positivos

el 0 no lleva signo.

Se llama valor absoluto de un número entero, al número natural que resulta cuando se borra el signo del número entero.

│−3│ significa valor absoluto de −3; │−3│=│+3│ y │−5│=│+5│

Estructura del conjunto de los números enteros

 

Suma de números enteros

Dados dos números enteros (a, b) y (x, y), llamamos suma de ambos al número entero (a + x, b + y)

ó escrito de la otra manera:

Reglas:

1.-Si los dos números son de igual signo, sumamos los valores absolutos y ponemos al resultado el signo que llevaban los números sumados.

2.-Si los dos números son de distinto signo, restamos los valores absolutos y ponemos delante el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Para sumar varios sumandos, se halla por separado la suma de los valores positivos y la suma de los números negativos, se obtienen dos resultados parciales que se suman aplicando las reglas anteriores.

A los números que tienen igual valor absoluto, pero distinto signo, se les llama “números opuestos”, y, como es lógico, su suma es igual a 0.

Propiedades:

1.- Operación interna

2.- Propiedad asociativa

3.- Propiedad conmutativa

4.- Posee elemento neutro (0)

5.- Posee elemento simétrico

Todo número tiene su opuesto en Z

“El conjunto Z con la operación de la suma forma grupo abeliano”

(Z, +) es grupo abeliano

Sumas indicadas

A menudo aparecen expresiones de sumas entre paréntesis; en este caso, para hacer desaparecer dicho paréntesis hemos de emplear la siguiente regla: el signo más delante de un paréntesis significa escribir el mismo número, mientras que el signo menos significa cambiar los signos. Cuando delante de un paréntesis no figura ningún signo se entiende que está el signo “más”.

Diferencias de números enteros

La expresión restar un número entero no es más que un modo corriente de decir sumar el opuesto de un número entero.

Es un caso particular de la suma.

Producto de números enteros

Por analogía del conjunto Z con el conjunto N:

Como       5 · 6 = 30

también 

 

Regla de los signos:

Si dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo, y si tienen signo contrario, el producto es negativo.

Propiedades:

-         Ley de composición interna

-         Propiedad conmutativa

-         Propiedad asociativa

-         Posee elemento neutro (1, 0) = 1

El conjunto Z de los números enteros para la operación de multiplicar tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento neutro, es decir: (Z, ·) es semigrupo abeliano con elemento neutro.

Si consideramos ahora (Z, +, ·), veremos que además las operaciones de suma y multiplicación se encuentran ligadas mediante la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, con lo que (Z, +, ·) tiene estructura de anillo conmutativo con elemento neutro.

Producto de sumas indicadas

Se multiplica cada uno de los números del primer paréntesis por cada número del segundo, respetando la regla de los signos.

Cociente de números enteros

Existen divisiones inexactas:

No tiene ley de composición interna.

Signos:

-         Cociente positivo cuando a y b tienen el mismo signo.

-         Cociente negativo cuando a y b tienen signos distintos.

Cuando existe a/b = c, se dice que a es múltiplo de b, siendo esta relación “ser múltiplo de” una relación de orden parcial:

-         Reflexiva: todo número es múltiplo de sí mismo.

-         Antisimétrica: Si un número es múltiplo de otro, el segundo no puede ser múltiplo del primero.

-         Transitiva: Si un primer número es múltiplo de un segundo, y este segundo lo es de un tercero, el primero será múltiplo del tercero.

-         Como además no todas las parejas de números enteros están relacionadas mediante dicha relación, es “de orden parcial”

Números enteros que son múltiplos de +2 = números enteros pares.

Restantes = números enteros impares.

Potenciación de números enteros

Es análoga a la dada para números naturales.

Signos:

-         Base positiva (+)

-         Base negativa y exponente par (+)

-         Base negativa y exponente impar (−)

Casos particulares:

Potencias de exponente negativo:

Potencia de un producto:

Producto de potencias de distintas bases e igual exponente:

Potencia de un cociente:

División de potencias de distintas bases e igual exponente:

Producto de potencias de la misma base:

Cociente de potencias de la misma base:

Potencia de una potencia:

Inmersión del conjunto N en el conjunto Z

Los números enteros no negativos, es decir, los positivos y el 0, cuyo conjunto representaremos por Z+, se comportan de forma totalmente análoga a como lo hacen los números naturales. Podemos establecer una correspondencia f:

Esta correspondencia es una aplicación biyectiva, con lo cual Z+ y N se comportan exactamente igual y pueden considerarse como idénticos; pudiendo considerar entonces a N como un subconjunto de Z.

Divisibilidad

Su estudio sirve también para N, ya que es un subconjunto de Z.

- Si un número a es múltiplo de otro número b, se dice que b es divisor de a.

- Todo número admite como divisores a él mismo, a su opuesto, a +1 y a −1. Si un número entero admite solamente estos divisores se dice que es primo; si admite alguno más se dice que es compuesto.

Los números primos negativos son los opuestos de los positivos.

Para averiguar si un número dado es o no primo se sigue la siguiente regla:

“Se le divide sucesivamente por todos los divisores primos a partir de 2 hasta llegar a un cociente igual o menor que el divisor primo empleado.

si alguna de las divisiones fuese exacta, el número no es primo.

- Todo número compuesto puede descomponerse en un producto de factores primos de modo único.

- Los criterios más importantes de divisibilidad son:

                              1.           Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par.

                              2.           Un número es divisible por 3 y 9 si lo es la suma de los valores de sus cifras.

                              3.           Un número es divisible por 5 si termina en 0 ó en 5.

                              4.           Un número es divisible por 11 si sumados los valores de las cifras que ocupan lugar par por un lado y los de las cifras de lugar impar por otro, y hallada la diferencia de ambos resultados, se obtiene un múltiplo de 11.

                              5.           Un número es divisible por 4 y por 25 si lo es, respectivamente, el número formado por sus dos últimas cifras, o sean ceros estas dos últimas cifras.

                              6.           Un número es divisible por 8 y por 125 si lo es el número formado por sus tres últimas cifras, o sean ceros estas tres cifras.

                              7.           Un número es divisible por 7 cuando restando sucesivamente de sus decenas el duplo de sus unidades, se obtiene como residuo cero o un múltiplo de 7.

La condición necesaria y suficiente para que un número sea divisible por otro es que el primero contenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores.

Para hallar todos los divisores de un número se realiza lo siguiente:

Escribir en líneas horizontales las diversas potencias de los factores primos, empezando por la unidad.

Multiplicamos todos los números de la primera fila por cada uno de los nº de la segunda; obteniendo B.

Multiplicamos todos los productos del cuadro B por los números de la tercera fila.

C nos da los divisores = 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 25, 50, 100, 75, 150, 300, 225, 450, 900.

 

M.C.D y M.C.M

- Máximo común divisor de varios números (m.c.d.)

Es el mayor número que los divide a todos, es decir, es el mayor de los divisores comunes de ambos números.

La regla para hallar el m.c.d. de varios números es la siguiente: se descomponen todos los números en factores primos y se halla el producto de los factores comunes a todos ellos con sus menores exponentes.

- Mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.)

Es el menor de los múltiplos comunes a esos números.

La regla para hallar el m.c.m. de varios números es la siguiente: se descomponen todos ellos en sus factores primos y se busca el producto de los factores comunes y los no comunes afectados con sus mayores exponentes.

- El producto del m.c.m. y el m.c.d. de dos números es igual al producto de dichos números en valor absoluto (esta regla sólo se verifica para el caso de dos números).

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