Generalidades
En la operación de radicación existen dos dificultades que no se pueden solucionar en el campo de los números racionales, son las siguientes:
- Si tratamos de hallar una raíz enésima, donde n sea un número par, de un número negativo, esto no es posible puesto que no existe ningún número que elevado a exponente par dé como resultado un número negativo.
- Aun en el caso de que el radicando sea positivo, puede ocurrir que no tenga raíz enésima dentro del campo de los números racionales. Así, por ejemplo, si tratamos de hallar la raíz cuadrada de 3, vemos que por muchas cifras decimales que saquemos nunca llegaremos a un resto cero, ni a tener un periodo.
El segundo problema se soluciona introduciendo el nuevo campo de los números reales, el cual comprende a todos los números racionales y además a aquellos que hemos citado últimamente llamados irracionales
.
El primer problema se solucionará después con la introducción de los números complejos.
Concepto de número real
Vamos a utilizar el método de las sucesiones monótonas convergentes.
Una sucesión numérica es una aplicación cuyo conjunto original es el conjunto de los números naturales. Cuando el conjunto final es el conjunto de los números racionales, la sucesión se llama de números racionales.
Para las sucesiones se emplea la siguiente notación para representar el valor de la función u correspondiente a valor n de la variable:
un en lugar de u(n) como se hace para otras funciones.
Los valores que toma la función se llaman términos de la sucesión, llamándose a un término enésimo de la sucesión.
Una sucesión a1, a2,… an que verifica que:
se llama sucesión monótona creciente.
Si la sucesión 
verifica que:
se llama monótona decreciente.
Se define como par de sucesiones monótonas convergentes al conjunto formado por dos sucesiones (
) y (
) tales que:
- Una de ellas es monótona creciente.
- Otra es monótona decreciente.
- 
para todo valor de i.
- La diferencia 
llega a ser un valor absoluto menor que cualquier número ∊> 0, desde un valor de i en adelante.
Se llama número real a todo par de sucesiones monótonas convergentes.
Número real [(0,0)] a:
Todo número real mayor que el [(0,0)] se llama positivo y los menores que el [(0,0)] se llaman negativos.
El valor absoluto de un número positivo es él mismo, y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto.
Estructura del conjunto de los números reales
Suma de números reales
Propiedades:
- Es una ley de composición interna.
- Propiedad conmutativa.
- Propiedad asociativa.
- Posee elemento neutro [(0,0)]
- Todo número real 
tiene su simétrico, que es el 
, es decir, su opuesto; ambos sumados dan como resultado el elemento neutro.
El conjunto R respecto a la suma tiene estructura de grupo abeliano.
Diferencia de números reales
Para restar dos números reales basta con sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Es por tanto, un caso particular de la suma.
Multiplicación de números reales
Producto:
Propiedades:
- Ley de composición interna.
- Propiedad conmutativa.
- Propiedad asociativa.
- Elemento neutro [(1,1)] 
- Todo número real 
tiene como simétrico a su inverso 
El conjunto R* = R – {0}, tiene estructura de grupo conmutativo.
Como además se verifica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, (R, +, ∙) tiene estructura de cuerpo. Es el cuerpo de los números reales.
División de números reales
Basta multiplicar el primero por el inverso del segundo. Luego la división a efectos de estructura es un caso particular de la multiplicación.
Inmersión del conjunto Q de los números racionales en el conjunto R de los números reales
Si consideramos el subconjunto R1 del conjunto de los números reales R, formado por los elementos de la forma
y
, siempre que el número 
se pueda escribir en forma de fracción, comprobamos que se trata de un subconjunto de R, es decir, un cuerpo con las mismas operaciones que R.
R1 es idéntico a Q de los números racionales y ambos se comportan igual, pudiéndose considerar por tanto a Q como un subconjunto de R.
Todos los números reales que no son racionales se llaman irracionales.
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