Capítulo 7:

 Radicación

 

Generalidades

Se define como raíz enésima de un número N, al número x que elevado a la enésima potencia da N.

Se representa así:

donde n es el índice, N el radicando y x la raíz. Si n = 2, no es necesario escribir el 2 y se llama raíz cuadrada.

Dos radicales son semejantes cuando después de simplificados tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Potencias de exponente racional

de donde

Operaciones con radicales

Suma de radicales

Se escriben unos a continuación de otros con su propio signo, luego se reducen los radicales semejantes, si los hay.

Multiplicación de radicales

Para que puedan multiplicarse es preciso que tengan el mismo índice, y en este caso se deja  el índice común y se multiplican los radicandos

Si los radicales no tienen índice común se reducen a éste como veremos a continuación.

Reducción de radicales a índice común

Se buscan el mínimo común múltiplo de todos los índices, y éste se deja como índice común; cada radicando se eleva al cociente de dividir dicho m.c.m. por el índice que tuviese al principio.

División de radicales

Han de tener también el mismo índice dividendo y divisor. Para dividirlos, se deja el mismo índice y se dividen los radicandos

Potencia enésima de un radical

Para elevar un radical a un exponente se deja el mismo índice y se eleva el radicando a dicho exponente

Raíz enésima de un radical

Se deja el mismo radicando y se pone como índice el producto de los índices

Racionalización

Se llama así a la operación mediante la cual se consigue que desaparezcan las raíces del denominador sin que varíe el cociente.

-         Primer caso. Si el denominador es un monomio; en este caso se multiplican numerador y denominador por la expresión conveniente, teniendo en cuenta que si el radicando está elevado al mismo valor que el índice desaparece la raíz

-         Segundo caso. Si el denominador es un binomio de radicales cuadráticos (de índice 2). En este caso se emplea la siguiente regla: se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del denominador

      el binomio conjugado del denominador es

Simplificación de radicales

Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente de expresión más sencilla.

Propiedades:

                              1.           Un radical no varía su valor si se multiplican o dividen el índice y el exponente por el mismo número.

                              2.           Para sacar un factor fuera de un radical se divide el exponente entre el índice y el factor sale fuera del radical con un exponente igual al cociente de la división, quedando el resto de la misma (si lo hay) como exponente del mismo factor dentro del radical.

      ya que: 12 = 5 ∙ 2 + 2

                              3.           Inversamente, para introducir un factor dentro de un radical bastará multiplicar su exponente por el índice de la raíz. Se utiliza cuando se pueden hacer radicales semejantes y de esta manera sumarlos.

                              4.           Reducción de radicales a índice común (visto).

                              5.           A veces, para hacer una operación con radicales, nos interesa poner a éstos en forma de potencia.

Ejemplos:

Cálculo de la raíz cuadrada de un número

1ª.- Se divide el número propuesto en grupos de a dos cifras, a partir de la derecha; el grupo de la izquierda podrá resultar con una sola cifra.

2ª.- Se extrae la raíz cuadrada del grupo de la izquierda, y así se obtiene la primera cifra de la raíz. Se eleva ésta al cuadrado y se resta del primer grupo de la izquierda.

3ª.- A la derecha del resto obtenido se baja el grupo siguiente del radicando, se separa con una coma la última cifra de la derecha, y la cifra de la izquierda se divide por el duplo de la parte de la raíz hallada. El cociente calculado se escribe a la derecha del duplo de la raíz y el número así formado se multiplica por el mismo cociente calculado. Si el producto se puede restar de todo el primer resto, la cifra calculada como cociente es buena y será la segunda cifra de la raíz, escribiéndose a la derecha de la primera.

4ª.- A la derecha del segundo resto obtenido se escribe el grupo siguiente del radicando. Se separa con una coma la primera cifra de la derecha y el grupo que queda a la izquierda se divide por el duplo de la raíz hallada, continuando como se ha dicho antes hasta bajar el último grupo del radicando.

10, 49, 76 comenzando por la derecha y hallamos la raíz cuadrada por defecto del 1er grupo de la izquierda

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