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Matemáticas. Números y operaciones (2/2)

Autor: ANTONIO ROS MORENO
Curso:
10/10 (1 opinión) |1224 alumnos|Fecha publicación: 01/07/2010
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Capítulo 5:

 Polinomios

Generalidades

Dado el conjunto Q de los números racionales, consideremos otro elemento al que llamaremos indeterminada y designaremos por x. En dicho conjunto podemos efectuar ciertas operaciones y considerar nuevos elementos, los cuales se obtienen efectuando en el conjunto formado por Q ∪ x las operaciones que se definen en Q extendidas a x. estos nuevos elementos así obtenidos se llaman polinomios en x sobre el conjunto Q de los números racionales. Queda construido el conjunto Q(x) de polinomios con una indeterminada, al considerar el conjunto Q ∪ x y ciertas operaciones.

polinomios

Análogamente, si consideramos el conjunto Q ∪ {x, y}, donde x, y son indeterminadas y admitimos todas las operaciones y propiedades de las operaciones definidas en el conjunto Q de los números racionales, tendremos el conjunto Q(x, y) de los polinomios con dos indeterminadas sobre Q.

polinomios

En un polinomio, cada término queda separado por los signos de sumar o restar.

Si el polinomio tiene un solo término se llama monomio; si tiene dos términos se llama binomio; si tres, trinomio, y si tiene más de tres se llama polinomio (en general).

Dado un polinomio cualquiera, se llaman coeficientes a los números racionales de cada uno de sus términos, llamándose “término independiente” al que no lleva parte literal, es decir, al coeficiente de x0.

Dado un monomio, se llama grado del mismo a la suma de los exponentes de sus indeterminadas. Por “grado” de un polinomio se entiende el de su término de mayor grado.

polinomios

El grado del primer término es 5, el del segundo, 4; el del tercero, 2; el del cuarto, 1, y el del quinto, 0. Por tanto, el grado del polinomio es 5 (el del mayor término).

Un polinomio A(x), en el que los exponentes de la indeterminada x van creciendo o decreciendo, se llama, respectivamente, polinomio ordenado respecto de las potencias crecientes o decrecientes de x.

Un polinomio P de grado n se llama “completo” si todos los coeficientes desde el de grado 0 hasta el de grado n son distintos de cero.

Ejemplos: Dados los polinomios

polinomios (completo, pero no ordenado)

polinomios (ordenado, pero incompleto)

polinomios (ordenado y completo)

Adición de polinomios

Para sumar polinomios se disponen como una adición de números, uno debajo de otro, haciendo corresponder verticalmente los términos semejantes.

polinomios

El grado del polinomio suma es igual o menor que el mayor de los grados de los sumandos.

Propiedades:

1.- Es una operación interna (el resultado es otro polinomio).

2.- Posee la propiedad conmutativa.

3.- Posee la propiedad asociativa.

4.- Posee elemento neutro. Este es el llamado “polinomio nulo” o polinomio cuyos coeficientes son todos cero.

5.- Posee elemento simétrico, que es el opuesto o polinomio que tiene los mismos coeficientes pero cambiados de signo.

Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios tiene estructura de grupo aditivo conmutativo.

Multiplicación de polinomios

- Para multiplicar un número racional por un polinomio basta multiplicar dicho número por cada uno de los coeficientes.

- El producto de dos monomioslinomios yolinomios es el monomio polinomios.

- Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio dado por el monomio, siendo el grado del polinomio producto igual a la suma de los grados del polinomio y del monomio factores.

- Finalmente, para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen después términos semejantes.

polinomios

polinomios

polinomios

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Propiedades:

1.- Es una operación interna.

2.- Posee la propiedad conmutativa.

3.- Posee la propiedad asociativa.

4.- Tiene elemento neutro que es el polinomio unidad o polinomio con términos independiente uno y los demás coeficientes igual a cero.

Por tanto, el conjunto Q(x) de polinomios tiene estructura de semigrupo conmutativo y con elemento neutro para la operación de multiplicar.

Además se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Por tanto, el conjunto Q(x) para las operaciones de sumar y multiplicar tiene estructura de anillo conmutativo y con elemento neutro.

Potenciación de polinomios. Fórmulas notables

El concepto establecido de potencia se extiende al conjunto Q(x) de los polinomios en la indeterminada x sobre Q.

Por tanto: linomios es una potencia en la que la base es el polinomiopolinomios y el exponente es 3 y que, por tanto, equivale a:polinomios.

1.-Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer monomio, más dos veces el producto de los dos monomios, más el cuadrado del segundo monomio.

polinomios

2.-Cuadrado de un polinomio. El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos y el doble producto de cada uno de ellos por cada uno de los términos que le siguen.

polinomios

3.-Cubo de un binomio. El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

polinomios

4.- Producto de una suma por una diferencia. El producto de la suma polinomios por la diferencia polinomios es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.

polinomios

División de polinomios

- Para dividir dos monomios polinomios y bpolinomios se pone como coeficiente polinomios y como parte literal polinomios.

- Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales.

polinomios

- Por último, dados dos polinomios A(x) y B(x), la división entera entre A y B consiste en hallar dos polinomios C y R que cumplan:

polinomios

y que: polinomios. Los polinomios A(x), B(x), C(x) y R(x) reciben, respectivamente, los nombres de polinomios dividendo, divisor, cociente y resto.

Para dividir dos polinomios:

1.-Se ordenan los dos polinomios según las potencias decrecientes de la indeterminada x.

2.-Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

3.-Se multiplica este primer término del cociente por todo el divisor, y este resultado se resta del dividendo. Se obtiene así el primer resto parcial.

4.-Se toma este resto como nuevo dividendo y se continúan las operaciones como se indica en los apartados 2.o y 3.o hasta obtener un resto de menor grado que el divisor.

polinomios

polinomios

polinomios

polinomios

polinomios

polinomios

División de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini

Vamos a dividir un polinomio por la expresiónpolinomios y a deducir una serie de propiedades.

polinomios

linomios

Observamos las propiedades siguientes:

- El cociente es un polinomio en x, de grado menor en una unidad que el polinomio dividendo.

- El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo: poli

- Cada uno de los restantes coeficientes del cociente es igual al que ocupa el mismo lugar en el dividendo más el anterior del cociente multiplicado por 4:

poli

polinomios

- El resto es igual al mismo coeficiente del dividendo más el último coeficiente del cociente multiplicado por 4:

polinomios

En general, para la división:

olinomios

- El cociente es un polinomio en x, de grado menor en una unidad que el polinomio dividendo.

- (Primer coeficiente del dividendo)polinomios (primer coeficiente del cociente)

- Cada coeficiente del cociente es igual al que ocupa el mismo lugar en el dividendo más el anterior del cociente multiplicado por a:

polinomios

polinomios

- El resto es igual al último coeficiente del dividendo más el último coeficiente del cociente multiplicado por a:

polinomios

Estas observaciones generalizadas para un polinomio dividendo de cualquier grado constituye la llamada regla de Ruffini.

Para realizar este tipo de divisiones, en la práctica suele utilizarse el siguiente esquema, que se conoce como método de Ruffini:

poli

ó

poli

Como sabemos que el cociente es de grado una unidad menor que el dividendo:

poli

Teorema del resto

En el ejemplo anterior, si sustituimos en el polinomio dividendo la x por 4 (en general por a) obtenemos:

poli

Es decir, el resto de la división de un polinomio en x por el binomio poli es el valor que toma el polinomio parapoli.

Aplicaciones. Este teorema tiene múltiples aplicaciones, siendo una de las más importantes la descomposición en factores de un polinomio. En efecto, dado un polinomio A(x), si su división por poli es exacta, lo cual quiere decir que dicho polinomio es divisible por poli, podemos escribir:

poli

Consideremos ahora el polinomio C(x), si éste es divisible por poli y es C´(x) el nuevo cociente, tenemos:poli.

Y así sucesivamente hasta tener descompuesto el polinomio A(x) en la forma:

poli

Por tanto, en la práctica, cuando queremos descomponer un polinomio en factores, se colocan sus coeficientes según el esquema de Ruffini y se tantean las soluciones enteras que dan resto cero.

Capítulo siguiente - Matrices y determinantes
Capítulo anterior - Potencia de un binomio

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