Capítulo 18:

 Varillas con masa. Fuerzas disipativas

Varillas con masa. Fuerzas disipativas:

¡Obsérvese cuántas cosas hay que saber antes de poder tomar el paso 1!

El problema es similar al anterior. Las diferencias que encontramos son que ahora las varillas tienen masa, y por tanto se ha de aplicar su momento de inercia respecto del eje de giro en los extremos del bastidor, y que ahora la masa m se ve afectada por el rozamiento. Entonces la energía cinética T:

, donde los vectores velocidad son los mismos que en el ejemplo anterior. Esto nos lleva a:

Para calcular la energía potencial tenemos que ver cuales son las coordenadas de las varillas. Supuestas de densidad uniforme, se pueden considerar como masas puntuales en su punto medio. Tomando el mismo origen de potencial que el ejemplo anterior, es decir, el plano XY, se obtiene que la aportación a V de cada varilla será:

, y por tanto, la energía potencial V:

, de forma que la lagrangiana de este sistema (sin

amortiguar, aun) es: ¿Paso 1? Aún no...Ahora la receta ya no es L = T - V.

Sea ahora una fuerza tipo Rayleigh , (¿¿esto es una fuerza??). Nos asalta la duda siguiente: ¿Qué dimensiones tiene c? por su nomenclatura pareciera una constante, pero la forma de la función de disipación de Rayleigh sugiere que tenga las de una masa (si es que acaso se trata una energía). Se dice que 2F es la cantidad de energía disipada en una unidad de tiempo, así que la propia F debe tener esas dimensiones (tampoco le hubiera ocupado al señor Goldstein más de una línea el explicitarlas). Esto implica que las dimensiones de c son las de masa partida por tiempo. Estas también son coherentes con las que definen a las fuerzas disipativas Qx= - C.

Con estas dimensiones en mente (kgs-1), se nos ocurre ingeniar una nueva lagrangiana en la que quede incluida esta nueva función, a ver qué pasa (es decir, a ver si hay suerte y se puede seguir sin problemas el algoritmo del ejemplo anterior). Para esto hagamos lo siguiente:

, pues así se puede poner:

Como esta solo depende de , se puede fabricar una lagrangiana que sea coherente con esta ecuación haciendo:

Paso 1.- La Lagrangiana, por fin!

, resultando

Ahora tenemos una lagrangiana dependiente del tiempo. Suena a adecuada, teniendo en cuenta que una fuerza disipativa es no conservativa, y que al final el sistema llegará al reposo, es decir, la lagrangiana va a sufrir una evolución temporal.

Paso 2.- Utilizando las ecuaciones de Hamilton sobre esta lagrangiana, se hallan los momentos asociados:

Resolviendo por Cramer este sistema:

Paso 3.- La función energía h es:

Sustituyendo los valores obtenidos arriba para las velocidades generalizadas, se obtiene finalmente el hamiltoniano:

Paso 4-. Obtención de H.

Tras reagrupar términos, presenta este aspecto menos horroroso, pero no mucho:

donde significa, para hacerlo más manejable:

Nota: "Con este capítulo llegamos al final de la primera parte de las dos partes en las que esta dividido este curso. Podrás encontrar los enlaces las demás entregas de este trabajo en la página de presentación del curso".

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